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厳選２００問 詳しい解説、解説動画へもワンクリックで飛べる→note.com/kantaro1966/n/n60a2dcf52505中学生の知識で数学脳を鍛える！８つのアプローチで論理的思考を養う』amzn.to/2UJxzwqブルーバックス「大学入試数学 不朽の名問100 大人のための“数学腕試し”」amzn.to/2Q7bUvUこの1冊で高校数学の基本の90%が身につく「中学の知識でオイラーの公式がわかる」amzn.to/2t28U8C
同じような問題を解いたばかりでした。m=n=2 が確定してこれより小さい値で成り立たないとしたあと、m, n が偶数と確定できればうれしいので、mod8 で見ると7^m≡-1（m が奇数）7^m≡1（m が偶数）5^n≡-3（n が奇数）5^n≡1（n が偶数）このことから m, n はともに偶数。m=2a, n=2b として、(7^a+5^b)(7^a-5^b)=24左辺の２つの因数はともに偶数であり、7^a+5^b > 7^a-5^bであるから7^a+5^b=12, 7^a-5^b=27^a+5^b=6, 7^a-5^b=4しかあり得ず、上の組み合わせからa=b=1すなわちm=n=2（下の組み合わせでは、整数解なし）（mod4 で解けると勘違いして、やり直しました。）
柿まるたほじくって食う台所 合同式での絞り込みが勉強になりました。どうも、ありがとうございました。 スーパーで、近くにいたオバサンが教えてくれました。
m,nが整数だけだと7^m,5^nが整数とは限らず、因数分解の恩恵が受けられないので、7^m>24よりm≧25^n≧49-24=25よりn≧2のように先に範囲を絞ることが必要ですね。modは5,7が6,8と互いに素であることから有理数modとして使えるには使えるけど、先に5^n,7^mを整数だと示してから整数modで考えるのが楽でしょうね。
ダイレクトに見たまんまのmod 5とmod 7で考えました。7^m ≡ 24 ≡ 4(mod 5)より，mod 5の7のべき乗の循環を考えると2→4→3→1より，mは偶数5^n ≡ - 24 ≡ 4 (mod 7)より，mod 7の5のべき乗の循環を考えると5→4→6→2→3→1より，nも偶数としました。
nice
@@coscos3060 さんありがとうございます😄
これまでの成果か、ほぼ同じようにできました。今日もありがとうございました。
同志から たくさんのこと 学びたり マナーに反しますが、朝食中に視聴しています。朝から有意義です。 貫太郎先生解説ありがとうございました。
4:20のところ✙１ではなく、✙２ ではないでしょうか。
ヨシッ❗mod 8でやりました。両方一辺にイケるので楽でした。ところで、原始ピタゴラス数の話とコレって、似てるけど微妙に話違わないですか？7^2＋24^2＝25^2になるって話なんで、24＋25＝49って所が辛うじてかすってるぐらいかな？
おはようございます。因数分解に持ち込む方針と、因数分解後の処理は概ね動画のとおりでしたが、7の冪乗の方は、以下のように考えました。mod10において、与式より、7^m ≡ 5+4 ≡ 9 故に mは自然数pを用いて、m = 2(2p-1) と表せる。
うんすうぶんかいって変換できるんですね。運数でググったら運命数に飛びました。勉強になりました。
草
mod 6 は 7と5 の間の数だから上手く行きそう！ということでOK!次は何かな･･･と考えて、私は mod 4 で考えました。本日も勉強になりました。ありがとうございました。
下２桁見てみてよ〜。m, n が自然数のとき、7^m は 7, 49, 43, 01 の循環、他方右辺は n≧2 で常に 49。n を絞り込むなら n の値によって異なる平方剰余が出てくる法を選ぶ必要があるよね〜。私が勘違いしてんのかな〜？？
何について言っているかというと、mod4 のことですよ。
こんなこと言うと、私が選んだ mod24 もムダなのかもしれんな〜。mod4 が意味ないのだから。それでも mod24 で m, n の偶奇の判定できるのは、24 が 8 の倍数だから。前にも書いた記憶があるけど、合同式の法は何となく選んじゃいけない、と、自分に向けて言いたい気分。大きい値の法を選ぶということは、出てくる剰余の種類が増えることだからニャー。場合によっては計算が面倒くさくなるかもしれない。一発でキメるとすれば、mod8 か…？
mod24で考えました
原始ピタゴラス数は無限にあることは知っていましたが、こうやって証明するんですね。
a＝m^2－n^2b＝2mnc＝m^2＋n^2で、自然数m＞nにおいて、無限に存在します。
@@kosei-kshmt 「ユークリッドの式」という名前が付いているようですね。学生時代、「コレに名前はねーのかよ？」と思ってましたが。
解けちゃいました〜！ぱふぱふぱふぱふぱふぱふ〜！！こりゃ合同式の法は 6, 8, 24 あたり、なんでもできそうだゾ〜！mod24 で、やりました〜！！解き方は m, n 絞ればみんな一緒でしょう！それではみなさん、今日も良い一日を！！また会おう！！
mod4,6で絞りました。
m=n=2は最初の段階で分かったのですが、証明がムリでした。合同式ってどうしたらそんなにパッと浮かぶのでしょうか？
mod6、mod8から、mnはどちらも偶数。以下、省略。
mod8を使うなら、mod4でいいかな😅
mod4の立場が…
できなかった…これで基本か…
無限にあることは原始ピタゴラス数、ピタゴラス変換行列などで。
こういう式変形を最初っから出来るようになりたい。mod8 で(8-1)^m≡(8-3)^n+8×3すなわち(-1)^m≡(-3)^n
千葉(医)の類題シリーズだなこのパターン出過ぎなのでは？
mod6と8かぁ、んみゃー
このような考え方はいかがでしょうか。5のｎ乗は5ｐ（ｐは1及び5の倍数）とおけます。同様に7のｍ乗も7ｑ（ｑは1及び7の倍数）とします。7ｑ＝5ｐ+24が成立するためには、5ｐにｐ個分だけ2を足す必要があります。24＝2×12なので、ｐは1以上12以下であることが分かります。ｐは1及び5の倍数なので、1,5,10の三つが候補に残ります。ｎが整数という条件からｐは10でないことが分かります。後はｐに1と5を当てはめて計算すれば、ｐ＝5と分かり、ｍ＝2とｎ＝2を導き出せます。
べき乗を５ｐや７ｑとした時点で同値性が崩れています。７ｑ＝５ｐ＋２４が成立するためには〜のところ、右辺が７の倍数でなければならないと言いたいのでしょうか？そこが良くわかりません。それから、ｐの範囲が１以上１２以下と限定される理由も知りたいです。
@@undead...追伸べき乗を5ｐや7ｑとした時点で、同値性が崩れているとのことですが、5のべき乗は5の倍数で7のべき乗は7の倍数ですよね。そういった意味では、ｐ及びｑを整数として、7のｍ乗を7ｑ、5のｎ乗を5ｐとおくことは出来ると思うのですが、同値性が崩れている理由はなんでしょうか？
@@前田国貴 ｐの候補で１０が挙げられているところ。ｐ＝１０の場合、５ｐ＝５０となりますが、５のべき乗ではないですよ。おくことができることと同値であることは違うでしょ。５のべき乗は確かに５ｐと書けます。でも５ｐと書ける数すべてが５のべき乗ではありません。
@@undead... 確かにｐの候補として10を挙げていますが、ｎが整数という条件からｐは5のべき乗（正確には1及び5のべき乗）になるので、ｐは10でないと明示しています。ｐの定義も1及び5の倍数ですが、飽くまでもｎが整数という条件を満たすｐということで、最終段階でふるいにかけて10を除外しています。定義など設定には多少の不備はあると思います。しかし、考え方自体はおおむね正しいと思いますがいかがでしょうか？
@@前田国貴 指数の形の方程式なので、そこを活かさないと緩い条件で解かなければならないと思うんですよ。７ｑ＝５ｐ＋２４って不定方程式の形だから、これを満たすｐとｑってたくさん出てきます。この問題の場合は右辺の定数が２４と小さいのでたまたま上手くいった感じがするんですよね。たとえば右辺の定数が２４じゃなくて１７７６でも同じように解けるんでしょうか？文句ばかりですみませんが気になります。
え、ｍｏｄ４はちょっと…。
おはようさんでおます。おとつい*(4+9+1+3)^3=4913 やん、ってコメントしたんやけど (2+4+0+1)^4=2401 も成り立つわな…*関西弁やデ。これでも、"一昨日" って変換できるんですワ…閑話休題初手 mod 6 を考えたのは貫太郎さんと同じですが、次に（なぜか）mod 10 で考えました。まあ、右辺が９になるので "一目瞭然" ですが…。この場合、-1 と考えない方が脳内に "絵（数字）" が浮かびますね。（7 の累乗の末尾が 7,9,3,1 を繰り返すので…）再び横道へ…今日も、"直感" を大事にして「陽気に、元気に、活き活きと！」行きまひょジャン*！*京都から東京に出たての頃、三田寛子さんは、周りに合せてこんな言葉遣いだったらしいです。そういえば、俵万智さん（福井県の藤島高校から早稲田大へ進学。今の今まで、滋賀県立高島高校の御出身やと…）も上京された頃は、いのあたま（井の頭）公園とかオイオイ（〇Ⅰ〇Ⅰ）って読んでたそうですよ。
こういう問題って、因数分解できるように作られてること多いから、たぶんn,mは偶数なんだろうなってなんとなく最初から想定してmodを片っ端から試してみたら案の定偶数だった。2018東北大学数学も似たような考え方の問題だった気がする。この手の有名問題？として3^a＋4^b=5^cを満たす自然数a,b,cの組を求めよって問題をちょっと前に解いたからでもある。結論から言うとa,b,cがそれぞれ2の場合のみである。
自分は、千葉大の問題を意識して作ってると思った
昼休みにこの問題を見て、m,n共に２は暗算ですぐに出た…が。しかし、問題は”それしかない！”を証明しなきゃいけない…合同式か、それとも関数を使うか…さてどちらだろうと思って視聴したら、（貫太郎チャンネル的には）基本の問題だった…”都合の良い数”を探すセンスが問われる問題ですねぇ。
ムズすぎ
本日も私のnoteにて解答PDF記事をアップいたしました。整数の範囲の絞り方はいくつかあります（少なくとも正の整数になることくらいはわかります。）が、何を法として合同なものを考えればよいかというのは、問題をたくさん解いていくと、ある程度見通しが付きます。それがつかなかったとしても、小さい数から順に法として合同なものを考えて、範囲を絞りやすくできるか否かをみていけば、（多少時間がかかっても）解決できますね。今月（2022年12月）からの新規のPDF記事は月ごとの有料マガジン購入で月内の記事の本文も閲覧可能となります。2022年10月からの新規のPDF記事はメンバーシップ加入で、月内・過去分のいずれであるかを問わず、本文も閲覧可能となります。有料になるとはいえど、制作したPDFをより多くの方に見ていただきたいと思っておりますので、メンバーシップ加入（または12月分からの月ごとの有料マガジン購入）をぜひご検討下さい。本日分を含む、無料ではない過去分は通常支援プラン・特別支援プランのメンバーなら見放題になります。1か月だけの加入であっても、当月までの分は見放題になりますので、先月までの過去分を見るだけであればそれでも対応できます。noteの「有料マガジン」のお支払いにはクレジットカード決済に加え、3大キャリア決済とPayPay決済も使えます。ただし、メンバーシップに入らない方がお得になってしまうのは避けたいですので、マガジン1個あたりの価格はメンバーシップの通常支援プランの月額よりは、若干高めとさせていただきました。詳細は私のnoteをご覧下さい。メンバーシップ（除・低額支援プラン）のメンバーはこれが特典になりますので、追加購入不要です。最後に、noteで私が鈴木貫太郎先生の同意・許可をいただいて作成している有料PDF記事について、メンバーシップ・有料マガジンも含めて、なにかご意見ございましたら、おっしゃっていただけるとありがたいです。PDF記事に対する需要がどの程度あるのかを知りたいというのもございます。さらに、現状のnoteに代わる適切なプラットフォームがありましたら、是非教えていただけますと幸いです。よろしくお願いします。
・・・
厳選２００問 詳しい解説、解説動画へもワンクリックで飛べる→
note.com/kantaro1966/n/n60a2dcf52505
中学生の知識で数学脳を鍛える！８つのアプローチで論理的思考を養う』amzn.to/2UJxzwq
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この1冊で高校数学の基本の90%が身につく「中学の知識でオイラーの公式がわかる」amzn.to/2t28U8C
同じような問題を解いたばかりでした。
m=n=2 が確定してこれより小さい値で成り立たないとしたあと、m, n が偶数と確定できればうれしいので、mod8 で見ると
7^m≡-1（m が奇数）
7^m≡1（m が偶数）
5^n≡-3（n が奇数）
5^n≡1（n が偶数）
このことから m, n はともに偶数。
m=2a, n=2b として、
(7^a+5^b)(7^a-5^b)=24
左辺の２つの因数はともに偶数であり、
7^a+5^b > 7^a-5^b
であるから
7^a+5^b=12, 7^a-5^b=2
7^a+5^b=6, 7^a-5^b=4
しかあり得ず、上の組み合わせから
a=b=1
すなわち
m=n=2
（下の組み合わせでは、整数解なし）
（mod4 で解けると勘違いして、やり直しました。）
柿まるたほじくって食う台所
合同式での絞り込みが勉強になりました。どうも、ありがとうございました。
スーパーで、近くにいたオバサンが教えてくれました。
m,nが整数だけだと7^m,5^nが整数とは限らず、因数分解の恩恵が受けられないので、
7^m>24よりm≧2
5^n≧49-24=25よりn≧2
のように先に範囲を絞ることが必要ですね。modは5,7が6,8と互いに素であることから有理数modとして使えるには使えるけど、先に5^n,7^mを整数だと示してから整数modで考えるのが楽でしょうね。
ダイレクトに見たまんまのmod 5とmod 7で考えました。
7^m ≡ 24 ≡ 4(mod 5)
より，mod 5の7のべき乗の循環を考えると
2→4→3→1
より，mは偶数
5^n ≡ - 24 ≡ 4 (mod 7)
より，mod 7の5のべき乗の循環を考えると
5→4→6→2→3→1
より，nも偶数
としました。
nice
@@coscos3060 さん
ありがとうございます😄
これまでの成果か、ほぼ同じようにできました。今日もありがとうございました。
同志から たくさんのこと 学びたり マナーに反しますが、朝食中に視聴しています。朝から有意義です。
貫太郎先生解説ありがとうございました。
4:20のところ✙１ではなく、✙２ ではないでしょうか。
ヨシッ❗
mod 8でやりました。両方一辺にイケるので楽でした。
ところで、原始ピタゴラス数の話とコレって、似てるけど微妙に話違わないですか？
7^2＋24^2＝25^2になるって話なんで、24＋25＝49って所が辛うじてかすってるぐらいかな？
おはようございます。因数分解に持ち込む方針と、因数分解後の処理は概ね動画のとおりでしたが、7の冪乗の方は、以下のように考えました。
mod10において、与式より、7^m ≡ 5+4 ≡ 9 故に mは自然数pを用いて、m = 2(2p-1) と表せる。
うんすうぶんかいって変換できるんですね。運数でググったら運命数に飛びました。勉強になりました。
草
mod 6 は 7と5 の間の数だから上手く行きそう！ということでOK!
次は何かな･･･と考えて、私は mod 4 で考えました。
本日も勉強になりました。ありがとうございました。
下２桁見てみてよ〜。
m, n が自然数のとき、7^m は 7, 49, 43, 01 の循環、他方右辺は n≧2 で常に 49。n を絞り込むなら n の値によって異なる平方剰余が出てくる法を選ぶ必要があるよね〜。
私が勘違いしてんのかな〜？？
何について言っているかというと、
mod4 のことですよ。
こんなこと言うと、私が選んだ mod24 もムダなのかもしれんな〜。
mod4 が意味ないのだから。それでも mod24 で m, n の偶奇の判定できるのは、24 が 8 の倍数だから。
前にも書いた記憶があるけど、合同式の法は何となく選んじゃいけない、と、自分に向けて言いたい気分。
大きい値の法を選ぶということは、出てくる剰余の種類が増えることだからニャー。場合によっては計算が面倒くさくなるかもしれない。
一発でキメるとすれば、mod8 か…？
mod24で考えました
原始ピタゴラス数は無限にあることは知っていましたが、こうやって証明するんですね。
a＝m^2－n^2
b＝2mn
c＝m^2＋n^2
で、自然数m＞nにおいて、無限に存在します。
@@kosei-kshmt 「ユークリッドの式」という名前が付いているようですね。
学生時代、「コレに名前はねーのかよ？」と思ってましたが。
解けちゃいました〜！
ぱふぱふぱふぱふぱふぱふ〜！！
こりゃ合同式の法は 6, 8, 24 あたり、なんでもできそうだゾ〜！
mod24 で、やりました〜！！
解き方は m, n 絞ればみんな一緒でしょう！
それではみなさん、今日も良い一日を！！
また会おう！！
mod4,6で絞りました。
m=n=2は最初の段階で分かったのですが、証明がムリでした。合同式ってどうしたらそんなにパッと浮かぶのでしょうか？
mod6、mod8から、mnはどちらも偶数。以下、省略。
mod8を使うなら、mod4でいいかな😅
mod4の立場が…
できなかった…これで基本か…
無限にあることは原始ピタゴラス数、ピタゴラス変換行列などで。
こういう式変形を最初っから出来るようになりたい。
mod8 で
(8-1)^m≡(8-3)^n+8×3
すなわち
(-1)^m≡(-3)^n
千葉(医)の類題シリーズだな
このパターン出過ぎなのでは？
mod6と8かぁ、んみゃー
このような考え方はいかがでしょうか。5のｎ乗は5ｐ（ｐは1及び5の倍数）とおけます。同様に7のｍ乗も7ｑ（ｑは1及び7の倍数）とします。7ｑ＝5ｐ+24が成立するためには、5ｐにｐ個分だけ2を足す必要があります。24＝2×12なので、ｐは1以上12以下であることが分かります。
ｐは1及び5の倍数なので、1,5,10の三つが候補に残ります。ｎが整数という条件からｐは10でないことが分かります。後はｐに1と5を当てはめて計算すれば、ｐ＝5と分かり、ｍ＝2とｎ＝2を導き出せます。
べき乗を５ｐや７ｑとした時点で同値性が崩れています。
７ｑ＝５ｐ＋２４が成立するためには〜のところ、右辺が７の倍数でなければならないと言いたいのでしょうか？そこが良くわかりません。それから、ｐの範囲が１以上１２以下と限定される理由も知りたいです。
@@undead...追伸
べき乗を5ｐや7ｑとした時点で、同値性が崩れているとのことですが、5のべき乗は5の倍数で7のべき乗は7の倍数ですよね。そういった意味では、ｐ及びｑを整数として、
7のｍ乗を7ｑ、5のｎ乗を5ｐとおくことは出来ると思うのですが、同値性が崩れている理由はなんでしょうか？
@@前田国貴
ｐの候補で１０が挙げられているところ。ｐ＝１０の場合、５ｐ＝５０となりますが、５のべき乗ではないですよ。
おくことができることと同値であることは違うでしょ。
５のべき乗は確かに５ｐと書けます。
でも５ｐと書ける数すべてが５のべき乗ではありません。
@@undead... 確かにｐの候補として10を挙げていますが、ｎが整数という条件からｐは5のべき乗（正確には1及び5のべき乗）になるので、ｐは10でないと明示しています。ｐの定義も1及び5の倍数ですが、飽くまでもｎが整数という条件を満たすｐということで、最終段階でふるいにかけて10を除外しています。定義など設定には多少の不備はあると思います。しかし、考え方自体はおおむね正しいと思いますがいかがでしょうか？
@@前田国貴
指数の形の方程式なので、そこを活かさないと緩い条件で解かなければならないと思うんですよ。７ｑ＝５ｐ＋２４って不定方程式の形だから、これを満たすｐとｑってたくさん出てきます。この問題の場合は右辺の定数が２４と小さいのでたまたま上手くいった感じがするんですよね。たとえば右辺の定数が２４じゃなくて１７７６でも同じように解けるんでしょうか？文句ばかりですみませんが気になります。
え、ｍｏｄ４はちょっと…。
おはようさんでおます。
おとつい*(4+9+1+3)^3=4913 やん、ってコメントしたんやけど (2+4+0+1)^4=2401 も成り立つわな…
*関西弁やデ。これでも、"一昨日" って変換できるんですワ…
閑話休題
初手 mod 6 を考えたのは貫太郎さんと同じですが、次に（なぜか）mod 10 で考えました。
まあ、右辺が９になるので "一目瞭然" ですが…。この場合、-1 と考えない方が脳内に "絵（数字）" が浮かびますね。
（7 の累乗の末尾が 7,9,3,1 を繰り返すので…）
再び横道へ…
今日も、"直感" を大事にして「陽気に、元気に、活き活きと！」行きまひょジャン*！
*京都から東京に出たての頃、三田寛子さんは、周りに合せてこんな言葉遣いだったらしいです。
そういえば、俵万智さん（福井県の藤島高校から早稲田大へ進学。今の今まで、滋賀県立高島高校の御出身やと…）も上京された頃は、いのあたま（井の頭）公園とかオイオイ（〇Ⅰ〇Ⅰ）って読んでたそうですよ。
こういう問題って、因数分解できるように作られてること多いから、たぶんn,mは偶数なんだろうなってなんとなく最初から想定してmodを片っ端から試してみたら案の定偶数だった。2018東北大学数学も似たような考え方の問題だった気がする。
この手の有名問題？として
3^a＋4^b=5^cを満たす自然数a,b,cの組を求めよって問題をちょっと前に解いたからでもある。結論から言うとa,b,cがそれぞれ2の場合のみである。
自分は、千葉大の問題を意識して作ってると思った
昼休みにこの問題を見て、m,n共に２は暗算ですぐに出た…が。
しかし、問題は”それしかない！”を証明しなきゃいけない…
合同式か、それとも関数を使うか…
さてどちらだろうと思って視聴したら、（貫太郎チャンネル的には）基本の問題だった…
”都合の良い数”を探すセンスが問われる問題ですねぇ。
ムズすぎ
本日も私のnoteにて解答PDF記事をアップいたしました。
整数の範囲の絞り方はいくつかあります（少なくとも正の整数になることくらいはわかります。）が、
何を法として合同なものを考えればよいかというのは、問題をたくさん解いていくと、ある程度見通しが付きます。
それがつかなかったとしても、小さい数から順に法として合同なものを考えて、
範囲を絞りやすくできるか否かをみていけば、（多少時間がかかっても）解決できますね。
今月（2022年12月）からの新規のPDF記事は月ごとの有料マガジン購入で月内の記事の本文も閲覧可能となります。
2022年10月からの新規のPDF記事はメンバーシップ加入で、月内・過去分のいずれであるかを問わず、本文も閲覧可能となります。
有料になるとはいえど、制作したPDFをより多くの方に見ていただきたいと思っておりますので、
メンバーシップ加入（または12月分からの月ごとの有料マガジン購入）をぜひご検討下さい。
本日分を含む、無料ではない過去分は通常支援プラン・特別支援プランのメンバーなら見放題になります。
1か月だけの加入であっても、当月までの分は見放題になりますので、先月までの過去分を見るだけであればそれでも対応できます。
noteの「有料マガジン」のお支払いにはクレジットカード決済に加え、3大キャリア決済とPayPay決済も使えます。
ただし、メンバーシップに入らない方がお得になってしまうのは避けたいですので、
マガジン1個あたりの価格はメンバーシップの通常支援プランの月額よりは、
若干高めとさせていただきました。詳細は私のnoteをご覧下さい。
メンバーシップ（除・低額支援プラン）のメンバーはこれが特典になりますので、追加購入不要です。
最後に、noteで私が鈴木貫太郎先生の同意・許可をいただいて作成している有料PDF記事について、
メンバーシップ・有料マガジンも含めて、なにかご意見ございましたら、おっしゃっていただけるとありがたいです。
PDF記事に対する需要がどの程度あるのかを知りたいというのもございます。
さらに、現状のnoteに代わる適切なプラットフォームがありましたら、是非教えていただけますと幸いです。
よろしくお願いします。
・・・